Modellierung von Zusammenhängen in zufallsbehafteten Systemen mittels approximierender Copulas

Prof. Dr. Claudia Cottin

• Mathematische Modellierung und Simulation realer Systeme
• Modellierung von Zusammenhängen in zufallsbehafteten Systemen, insbesondere zur Ab-schätzung von Risiken
• Copula-Modelle

Für unter anderem die Abschätzung von Risiken oder diverse Optimierungsaufgaben werden reale Systeme mathematisch modelliert und simuliert. Eine wichtige Teilaufgabe besteht in der Modellierung von Zusammenhängen in zufallsbehafteten Systemen, beispielsweise solcher zwischen Sturmschäden und Überschwemmungsschäden in der Wettermodellierung oder zwischen verschiedenen Finanzrisiken. Klassische Maße für die Quantifizierung sind verschiedene Varianten von Korrelationskoeffizienten.

Oft lassen sich komplexe Zusammenhänge in Form einer einzigen Kennzahl aber nur unzureichend beschreiben. Als Alternative rücken zunehmend sogenannte Copula-Modelle, das sind im Kern spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen, in den Fokus von Anwendern, z.B. bei der Naturgefahrenmodellierung von Versicherungsunternehmen. In letzter Zeit stellt sich immer mehr heraus, dass Methoden der multivariaten Approximationstheorie sehr hilfreich bei der Identifizierung von passenden Copula-Modellen für reale Systeme sein können. Auf Basis der Expertise der Projektbeteiligten (Prof. Dr. C. Cottin, Prof. Dr. D. Pfeifer, Dr. C. Schellhase) sowohl im Bereich der Stochastik als auch der Approximationstheorie sollen hierzu bereits bestehende Ansätze weiterentwickelt werden.

Nach Projektstart 2013 beschäftigten sich D. Pfeifer und C. Cottin zunächst mit sog. Bernstein-Copulas, die sehr flexibel zur Modellierung von Zusammenhängen in verschiedenen Bereichen eingesetzt werden können. U.a. konnten ältere Forschungsergebnisse von C. Cottin (und damaligen Koautoren) im Bereich der Approximationstheorie gewinnbringend in den Copula-Kontext übertragen werden. Entsprechende Resultate wurden 2014 im "Journal of Applied Functional Analysis" veröffentlicht und nachfolgend auf verschiedenen Fachkonferenzen und Seminarveranstaltungen vorgestellt (überwiegend von D. Pfeifer zusammen mit weiteren eigenen Resultaten).

Ende 2015 wurde die Laufzeit des (ungeförderten) Projekts bis 2017 verlängert, um die bisherigen Überlegungen weiterzuführen und Ergebnisse angemessen aufzubereiten. Unter anderem fanden im Berichtszeitraum – anknüpfend an einen fachlichen Austausch während eines Lehr- und Forschungsaufenthalts an der City University of Hong Kong im Jahr 2014 – Fachdiskussionen mit einer Forschergruppe um Prof. Dian-Xuan Zhou zur Nutzung der Copula-Ansätze in der Lerntheorie statt. Einige Teilergebnisse des Copula-Projekts werden voraussichtlich auch in die geplante englischsprachige Ausgabe des Buchs „Risikoanalyse“ (vgl. 3.2.6) eingehen, für die inzwischen D. Pfeifer als dritter Autor gewonnen werden konnte.