Reguläre Sprachen, Ausdrucksstärke

Motivation

Was muss ein Compiler wohl als erstes tun?

Hier entsteht ein Tafelbild.

Themen für heute

• Endliche Automaten
• Reguläre Sprachen

Endliche Automaten

Deterministische endliche Automaten

Def.: Ein deterministischer endlicher Automat (DFA) ist ein 5-Tupel $A = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$ mit

• $Q$ : endliche Menge von Zuständen

• $\Sigma$ : Alphabet von Eingabesymbolen

• $\delta$ : die (eventuell partielle) Übergangsfunktion $(Q \times \Sigma) \rightarrow Q, \delta$ kann partiell sein

• $q_0 \in Q$ : der Startzustand

• $F \subseteq Q$ : die Menge der Endzustände

Nichtdeterministische endliche Automaten

Def.: Ein nichtdeterministischer endlicher Automat (NFA) ist ein 5-Tupel $A = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$ mit

• $Q$ : endliche Menge von Zuständen

• $\Sigma$ : Alphabet von Eingabesymbolen

• $\delta$ : die (eventuell partielle) Übergangsfunktion $(Q \times \Sigma) \rightarrow Q$

• $q_0 \in Q$ : der Startzustand

• $F \subseteq Q$ : die Menge der Endzustände

Akzeptierte Sprachen

Def.: Sei A ein DFA oder ein NFA. Dann ist L(A) die von A akzeptierte Sprache, d. h.

Wozu NFAs im Compilerbau?

Pattern Matching (Erkennung von Schlüsselwörtern, Bezeichnern, ...) geht mit NFAs.

NFAs sind so nicht zu programmieren, aber:

Satz: Eine Sprache $L$ wird von einem NFA akzeptiert $\Leftrightarrow L$ wird von einem DFA akzeptiert.

D. h. es existieren Algorithmen zur

• Umwandlung von NFAs in DFAS
• Minimierung von DFAs

Reguläre Sprachen

Reguläre Ausdrücke

Def.: Induktive Definition von regulären Ausdrücken (regex) und der von ihnen repräsentierten Sprache L:

• Basis:

  • $\epsilon$ und $\emptyset$ sind reguläre Ausdrücke mit $L(\epsilon) = \lbrace \epsilon\rbrace$, $L(\emptyset)=\emptyset$
  • Sei $a$ ein Symbol $\Rightarrow$ $a$ ist ein regex mit $L(a) = \lbrace a\rbrace$

• Induktion: Seien $E,\ F$ reguläre Ausdrücke. Dann gilt:

  • $E+F$ ist ein regex und bezeichnet die Vereinigung $L(E + F) = L(E)\cup L(F)$
  • $EF$ ist ein regex und bezeichnet die Konkatenation $L(EF) = L(E)L(F)$
  • $E^{\ast}$ ist ein regex und bezeichnet die Kleene-Hülle $L(E^{\ast})=(L(E))^{\ast}$
  • $(E)$ ist ein regex mit $L((E)) = L(E)$

Vorrangregeln der Operatoren für reguläre Ausdrücke: *, Konkatenation, +

Formale Grammatiken

Def.: Eine formale Grammatik ist ein 4-Tupel $G=(N,T,P,S)$ aus

• $N$: endliche Menge von Nichtterminalen

• T: endliche Menge von Terminalen, $N \cap T = \emptyset$

• $S \in N$: Startsymbol

• P: endliche Menge von Produktionen der Form

Ableitungen

Def.: Sei $G = (N, T, P, S)$ eine Grammatik, sei $\alpha A \beta$ eine Zeichenkette über $(N \cup T)^{\ast}$ und sei $A$ $\rightarrow \gamma$ eine Produktion von $G$.

Wir schreiben: $\alpha A \beta \Rightarrow \alpha \gamma \beta$ ($\alpha A \beta$ leitet $\alpha \gamma \beta$ ab).

Def.: Wir definieren die Relation $\overset{\ast}{\Rightarrow}$ induktiv wie folgt:

• Basis: $\forall \alpha \in (N \cup T)^{\ast} \alpha \overset{\ast}{\Rightarrow} \alpha$ (Jede Zeichenkette leitet sich selbst ab.)

• Induktion: Wenn $\alpha \overset{\ast}{\Rightarrow} \beta$ und $\beta\Rightarrow \gamma$ dann $\alpha \overset{\ast}{\Rightarrow} \gamma$

Def.: Sei $G = (N, T ,P, S)$ eine formale Grammatik. Dann ist $L(G) = \lbrace\text{Wörter}\ w\ \text{über}\ T \mid S \overset{\ast}{\Rightarrow} w\rbrace$ die von $G$ erzeugte Sprache.

Reguläre Grammatiken

Def.: Eine reguläre (oder type-3-) Grammatik ist eine formale Grammatik mit den folgenden Einschränkungen:

• Alle Produktionen sind entweder von der Form

  • $X \to aY$ mit $X \in N, a \in T, Y \in N$ (rechtsreguläre Grammatik) oder
  • $X \to Ya$ mit $X \in N, a \in T, Y \in N$ (linksreguläre Grammatik)

• $X\rightarrow\epsilon$ ist erlaubt

Reguläre Sprachen und ihre Grenzen

Satz: Die von endlichen Automaten akzeptiert Sprachklasse, die von regulären Ausdrücken beschriebene Sprachklasse und die von regulären Grammatiken erzeugte Sprachklasse sind identisch und heißen reguläre Sprachen.

Reguläre Sprachen

• einfache Struktur
• Matchen von Symbolen (z. B. Klammern) nicht möglich, da die fixe Anzahl von Zuständen eines DFAs die Erkennung solcher Sprachen verhindert.

Wozu reguläre Sprachen im Compilerbau?

• Reguläre Ausdrücke

  • definieren Schlüsselwörter und alle weiteren Symbole einer Programmiersprache, z. B. den Aufbau von Gleitkommazahlen
  • werden (oft von einem Generator) in DFAs umgewandelt
  • sind die Basis des Scanners oder Lexers

Ein Lexer ist mehr als ein DFA

• Ein Lexer

  • wandelt mittels DFAs aus regulären Ausdrücken die Folge von Zeichen der Quelldatei in eine Folge von sog. Token um

  • bekommt als Input eine Liste von Paaren aus regulären Ausdrücken und Tokennamen, z. B. ("while", WHILE)

  • Kommentare und Strings müssen richtig erkannt werden. (Schachtelungen)

  • liefert Paare von Token und deren Werte, sofern benötigt, z. B. (WHILE, _), oder (IDENTIFIER, "radius") oder (INTEGERZAHL, "334")

Wie geht es weiter?

• Ein Parser

  • führt mit Hilfe des Tokenstreams vom Lexer die Syntaxanalyse durch

  • basiert auf einer sog. kontextfreien Grammatik, deren Terminale die Token sind

  • liefert die syntaktische Struktur in Form eines Ableitungsbaums (syntax tree, parse tree), bzw. einen AST (abstract syntax tree) ohne redundante Informationen im Ableitungsbaum (z. B. Semikolons)

  • liefert evtl. Fehlermeldungen

Wrap-Up

Wrap-Up

• Definition und Aufgaben von Lexern
• DFAs und NFAs
• Reguläre Ausdrücke
• Reguläre Grammatiken
• Zusammenhänge zwischen diesen Mechanismen und Lexern, bzw. Lexergeneratoren